Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 ，且AC，BD交于點O，E是PB上任意一點．

（1）求證：AC⊥DE
（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，

因為DE平面PBD，∴AC⊥DE．

（2）解：連接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設PD=t，則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0， ），P（0，﹣ ，t），

設平面PAB的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，令y=1，得 =（ ，1， ），

平面PBD的法向量 =（1，0，0），

因為二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，

所以|cos＜ ， ＞|= = ，

所以t=2 或t=﹣2（ 舍）

P（0，﹣ ，2 ），E（0，0，1）， =（ ，1，1），

=（﹣1，0，﹣ ）

∴sinθ=| |= ，

∴EC與平面PAB所成角θ的正弦值為 ．

【解析】（1）由PD垂直面ABCD，可得PD⊥BD，根據底面ABCD為菱形，可得到AC⊥BD，即可得到AC⊥面PBD，從而得到AC⊥DE，（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用法向量法即可得出結果.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．