Question

給出下列四個命題：
（1）函數y=3sin

x

2

+4cos

x

2

的定義域為[0，2π]，則值域為[-5，5]；
（2）三角方程tan（5x+

2π

9

）=

2

在[0，π]內有5個解；
（3）對任意的α∈R，三角公式sin2α=

2tanα

1+tan2α

是一定成立的；
（4）函數y=cosx與y=arccosx（|x|≤1）互為反函數．
其中正確的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式求函數的周期即可．（2）利用正切函數的周期判斷．（3）利用正切函數的定義域判斷．（4）關鍵反函數的定義進行判斷．

解答：解：（1）由數y=3sin

x

2

+4cos

x

2

得y=5sin（

x

2

+θ），θ為參數，則函數的周期T=

2π

1 2

=4π，
因為定義域為[0，2π]，為半個周期，所以最大值5和最小值-5在[0，2π]內不能同時取得，所以（1）錯誤．
（2）因為正切函數的周期為T=

π

5

，所以[0，π]為5個周期長度．所以又因為正切函數在每個周期內都是單調遞增函數，所以tan（5x+

2π

9

）=

2

在[0，π]內有5個解，所以（2）正確．
（3）因為正切函數的定義域為{α|α≠kπ+

π

2

}，所以（3）不一定恒成立．，所以（3）錯誤．
（4）因為y=cosx在定義域內不是單調函數，所以在定義域內，函數y=cosx內沒有反函數，所以（4）錯誤．
故選B．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握正弦函數，余弦函數和正切函數的性質．