Question

⊙A的方程為x²＋y²－2x－2y－7＝0，⊙B的方程為x²＋y²＋2x＋2y－2＝0，判斷⊙A和⊙B是否相交.若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線的方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，說(shuō)明理由.

Answer 1

解:⊙A的方程可寫(xiě)為(x－1)²＋(y－1)²＝9,

⊙B的方程可寫(xiě)為(x＋1)²＋(y＋1)²＝4,

∴兩圓心之間的距離滿足3－2＜|AB|＝＝2＜3＋2,

即兩圓心之間的距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差.

∴兩圓相交.

⊙A的方程與⊙B的方程左、右兩邊分別相減得－4x－4y－5＝0,即4x＋4y＋5=0為過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的方程.

設(shè)兩交點(diǎn)分別為C、D，則CD：4x＋4y＋5=0.

點(diǎn)A到直線CD的距離為d==.

由勾股定理，得|CD|=2=2=.

點(diǎn)評(píng):判斷兩圓相交的方法，常用兩圓心之間的距離d與兩圓半徑的和及差的絕對(duì)值比較大小,即當(dāng)|R－r|＜d＜R＋r時(shí)，兩圓相交.求相交兩圓的公共弦長(zhǎng)及其方程一般不用求交點(diǎn)的方法，常用兩方程相減法消去二次項(xiàng)得公共弦的方程，然后用勾股定理求弦長(zhǎng).