Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，當時，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和直線和圓相切的條件： 可得 ，結合 的關系，可得進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設過點 的直線為 ，代入橢圓方程 可得的方程，運用判別式大于0和韋達定理，以及弦長公式，化簡整理解不等式即可得到所求直線的斜率的范圍．

試題解析：（（Ⅰ）由題意可得e==，

以x2+y2=b2的圓與直線x﹣y+=0相切，可得

=b，即b=1，

即為a2﹣c2=1，

解得a=，b=1，

即有橢圓方程為+y2=1；

（Ⅱ）設過點M（2，0）的直線為y=k（x﹣2），

代入橢圓方程x2+2y2=2，可得

（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

可得△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，

即為﹣＜k＜，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=，x1x2=，

由弦長公式可得|AB|=

==，

由題意可得＜，

化簡可得56k4+38k2﹣13＞0，

解得k2＞，即有k＞或k＜﹣，

綜上可得直線的斜率的范圍是