Question

（2012•湖南模擬）選做題（請考生在第16題的三個小題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分，要寫出必要的推理與演算過程）
（1）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊BC，AC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，試求BD的長．
（2）已知曲線C的參數方程為

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數），求曲線C上的點到直線x-y+1=0的距離的最大值．
（3）若a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），則

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，當且僅當

a

x

=

b

y

時上式取等號．請利用以上結論，求函數f（x）=

2

x

+

9

1-2x

（x∈0，

1

2

）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理求得AB的長，再根據切割線定理解答．
（2）把極坐標方程化為直角坐標方程，出圓心（1，0）到直線x-y+1=0的距離，將此距離加上半徑即得所求．
（3））f（x）=

2

x

+

9

1-2x

轉化為f（x）=

4

2x

+

9

1-2x

，再利用給出的不等式性質求解．

解答：解：（1）∵AC=4，BC=3，
根據勾股定理得AB=5；
根據切線長定理，BC²=BD•BA，
∴3²=BD•5，
∴BD=1.8
（2）將曲線C的參數方程

x=1+cosθ y=sinθ

化為直角坐標方程得（x-1）²+y²=1，
圓心（1，0）到直線x-y+1=0的距離為d=

|1+0+1|

2

=

2

．
所求最大距離為d+r=

2

+1．
（3）f（x）=

2

x

+

9

1-2x

=

4

2x

+

9

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25，
當且僅當

2

2x

=

3

1-2x

，x=

1

5

時取等號．

點評：（1）本題考查與圓有關的線段長度求解，用到了切線長定理．應熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定．
（2）本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，求出圓心（1，0）到直線直線x-y+1=0的距離，是解題的關鍵．
（3）本題考查不等式性質的應用：求最值．要創造出滿足性質的條件，準確應用性質求解．