Question

（2012•湖南模擬）已知向量

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x)，函數f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數f（x）的對稱中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)=3，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數量積以及二倍角的余弦函數，兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用正弦函數的對稱性求函數f（x）的對稱中心；
（2）通過f(C)=3，c=1，ab=2

3

，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x，
=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1．…（4分）
令2x+

π

6

=kπ得，x=

kπ

2

-

π

12

(k∈Z)，
∴函數f（x）的對稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，1)．…（6分）
（2）f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3   ∴sin(2C+

π

6

)=1，
∵C是三角形內角，∴2C+

π

6

=

π

2

即：C=

π

6

…（8分）
∴cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

即：a²+b²=7．
將ab=2

3

代入可得：a2+

12

a2

=7，解之得：a²=3或4，…（10分）
∵a＞b，∴a=2，b=

3

．…（12分）
∴a=

3

或2，∴b=2或

3

．

點評：本題考查向量的數量積的應用，余弦定理以及兩角和的正弦函數與二倍角公式的應用，考查計算能力．