Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為，且點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點，求證：為定值．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析．

試題分析：（1）已知橢圓的長軸長，就是已知，那么在橢圓的標準方程中還有一個參數，正好橢圓過點，把這個點的代入橢圓標準方程可求出，得橢圓方程；（2）這是直線與橢圓相交問題，考查同學們的計算能力，給定了直線的方向向量，就是給出了直線的斜率，只要設動點的坐標為，就能寫出直線的方程，把它與橢圓方程聯立方程組，可求出兩點的坐標，從而求出的值，看它與有沒有關系（是不是常數），當然在求時，不一定要把兩點的坐標直接求出（如直接求出，對下面的計算沒有幫助），而是采取設而不求的思想，即設，然后求出，，而再把用，表示出來然后代入計算，可使計算過程簡化．
試題解析：（1） 因為的焦點在軸上且長軸為，
故可設橢圓的方程為（），            （1分）
因為點在橢圓上，所以，               （2分）
解得，      （1分）
所以，橢圓的方程為．                      （2分）
（2）設（），由已知，直線的方程是，   （1分）
由  （*）          （2分）
設，，則、是方程（*）的兩個根，
所以有，，                 （1分）
所以，


（定值）．              （3分）
所以，為定值．                     （1分）
（寫到倒數第2行，最后1分可不扣）