Question

【題目】解答題
（1）求函數y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；
（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|= = ，

故函數的值域是[﹣3，+∞）

（2）解：f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，

①a≥1時，f（x）= = ，

而2a﹣2＞1﹣a，

此時f（x）的最小值是1﹣a，故只需1﹣a≥﹣1，

∴1≤a≤2；

②a＜1時，f（x）= = ，

此時a＜1時，﹣1+a＜2﹣2a，f（x）的最小值是a﹣1，

只需a﹣1≥﹣1，0≤a＜1，

綜上，a的范圍是[0，2]

【解析】（1）通過討論x的范圍求出函數f（x）的分段函數的形式，從而求出f（x）的值域即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數f（x）的分段函數的形式，求出f（x）的最小值，得到關于a的不等式，解出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．