Question

【題目】數(shù)列{an}中，a1=2， （n∈N*）．
（1）證明數(shù)列 是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：數(shù)列{an}中，a1=2， （n∈N*），

= ，則數(shù)列 是首項(xiàng)為2，公比為 的等比數(shù)列；

則 =2（ ）n﹣1，

即為an=2n（ ）n﹣1

（2）解：證明： =

= ，

由2n=（1+1）n=1+n+ +…+ +1≥2n，

則4n≥4n2，

即有 ≤ = （ ﹣ ），

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn= + + +…+

≤ （1﹣ + /span> ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）＜ ，

則 ．

【解析】（1）將原式兩邊除以n+1，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得證；（2）求得 = ，可得4n≥4n2 ， 即有 ≤ = （ ﹣ ），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．