Question

【題目】如圖已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且，.

（Ⅰ）求橢圓的方程：

（Ⅱ）設為橢圓上異于且不重合的兩點，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實數，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）易知根據條件確定形狀，即得C坐標，代入橢圓方程可得，（Ⅱ）即先判斷是否成立，設的直線方程，與橢圓聯立方程組解得坐標，根據、關系可得坐標，利用斜率坐標公式即得斜率，進而判斷成立，然后根據兩點間距離公式計算長度最大值，即可得的最大值.

（Ⅰ）∵， ∴

又，即，2

∴是等腰直角三角形

∵， ∴

因為點在橢圓上，∴∴

∴所求橢圓方程為

（Ⅱ）對于橢圓上兩點、，∵的平分線總是垂直于軸

∴與所在直線關于對稱，設且，則，

則的直線方程 ①

的直線方 ②

將①代入得 ③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，∴

以替換，得到.

因為,所以span>∴ ∴，∴存在實數，使得

當時即時取等號，

又，