Question

P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，|F₁F₂|=2c，過P作直線l：x=-

a2

c

的垂線，垂足為Q，若PQF₁F₂是平行四邊形，則橢圓的離心率取值范圍是_

1

2

＜e＜1

．

Answer 1

分析：根據題意得，若PQF₁F₂是平行四邊形，如圖，由圖可知，橢圓上存在一點，使得它到左準線的距離小于焦距即可，而橢圓上的點到左準線的距離的最小值為左頂點到左準線的距離，從而建立關于e的不等關系，求解即得橢圓的離心率取值范圍．

解答：解：若PQF₁F₂是平行四邊形，如圖，
由圖可知，橢圓上存在一點，使得它到左準線的距離小于焦距即可，
而橢圓上的點到左準線的距離的最小值為左頂點到左準線的距離，即a-

a2

c

，
∴a-

a2

c

＜2c，
即：2c²+ac-a²＞0，
從而2e²+e-1＞0⇒e＞

1

2

又橢圓的離心率e＜1，
則橢圓的離心率取值范圍是

1

2

＜e＜1．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．