Question

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（1）設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，M橢圓上的任意一點(diǎn)，|MF|的最大值與最小值的算術(shù)平均等于4，橢圓的頂點(diǎn)A與N（-2，0）關(guān)于直線x+y=0對稱，求此橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為兩焦點(diǎn)，記∠F₁PF₂=θ，求證|PF1|•|PF2|=

2b2

1+cosθ

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得|MF|_max=a+c，|MF|_min=a-c，及題意可得a．再利用軸對稱即可得出點(diǎn)A，即可．
（2）利用橢圓的定義和余弦定理即可得出．

解答：解：（1）∵|MF|_max=a+c，|MF|_min=a-c，
∴

1

2

(a+c+a-c)=a=4，
又A與N（-2，0）關(guān)于y=-x對稱，∴有A（0，2），∴b=2．
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
在△PF₁F₂中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF1|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF1|-2|PF1||PF2|cosθ，
∴（2c）²=（2a）²-2（1+cosθ）|PF₁||PF₂|，
∴|PF1|•|PF2|=

2a2-2c2

1+cosθ

=

2b2

1+cosθ

．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、余弦定理等是解題的關(guān)鍵．