Question

已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點,且橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的的動點.

（1）求橢圓標準方程；

（2）設動點滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點使

得為定值，并求出的坐標；

（3）若在第一象限，且點關于原點對稱，垂直于軸于點，連接 并延長交橢圓于點，記直線的斜率分別為，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在使得;（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設，由,結合橢圓的標準方程可以得到使得為定值；（3）要證明就是要考慮,詳見解析.

試題解析：（1）由題設可知：因為拋物線的焦點為，

所以橢圓中的又由橢圓的長軸為4得

故

故橢圓的標準方程為：

（2）設，

由可得：

由直線OM與ON的斜率之積為可得：

，即

由①②可得：

M、N是橢圓上的點，故

故，即

由橢圓定義可知存在兩個定點，

使得動點P到兩定點距離和為定值;

（3）設，由題設可知 ，

由題設可知斜率存在且滿足.

將③代入④可得：⑤

點在橢圓，

故

考點：直線與圓錐曲線.