Question

（本題滿分18分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．

已知橢圓的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為、，拋物線的準線與軸交于，橢圓與拋物線的一個交點為.

（1）當時，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過焦點，與拋物線交于兩點，若弦長等于的周長，求直線的方程；

（3）由拋物線弧和橢圓弧

（）合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點為直角頂點，另兩個頂點落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）設橢圓的實半軸長為a,短半軸長為b，半焦距為c,

當=1時，由題意得，a=2c=2,, 

所以橢圓的方程為.（4分）

（2）依題意知直線的斜率存在，設，由得，，由直線與拋物線有兩個交點，可知.設，由韋達定理得，則（6分）又的周長為，所以，          （8分）

解得，從而可得直線的方程為        （10分）

（3）由題意得，“拋橢圓”由拋物線弧和橢圓弧合成，且、。

假設存在為等腰直角三角形，由所在曲線的位置做如下3種情況討論：

①當同時在拋物線弧上時，由、的斜率分別為，比為鈍角，顯然與題設矛盾. 此時不存在                （12分）

② 當同時在橢圓弧上時，由橢圓與等腰直角三角形的對稱性知，則兩直角邊關于x軸對稱.即直線的斜率為1，直線的斜率為，

得符合題意；此時存在（15分）

③ 不妨設當在拋物線弧上，在橢圓弧上時，

于是設直線的方程為（其中），將其代入得；由，直線的方程為，同理代入橢圓弧方程得,

由得,解得與矛盾，此時不存在。

因此，存在以原點為直角頂點，另兩個頂點落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形，兩直角邊所在直線的斜率分別為1和.（18分）