Question

（1）設橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，是橢圓與雙曲線的公共點，且的周長為，求橢圓的方程；

我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

 

（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設過點的直線與“盾圓”交于兩點，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） 

（2）利用；

（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）由的周長為得，

橢圓與雙曲線：有相同的焦點，所以，

即，，橢圓的方程； 4分

（2）證明：設“盾圓”上的任意一點的坐標為，. 5分

當時，，，

即； 7分

當時，，，

即； 9分

所以為定值； 10分

（3）顯然“盾圓”由兩部分合成，所以按在拋物線弧或橢圓弧上加以分類，由“盾圓”的對稱性，不妨設在軸上方（或軸上）：

當時，，此時，； 11分

當時，在橢圓弧上，

由題設知代入得，

，

整理得，

解得或（舍去）. …12分

當時在拋物線弧上，

由方程或定義均可得到，于是，

綜上，（）或（）；

相應地，， 14分

當時在拋物線弧上，在橢圓弧上，

； 15分

當時在橢圓弧上，在拋物線弧上，

； 16分

當時、在橢圓弧上，

； 17分

綜上的取值范圍是. 18分

考點：本題主要考查橢圓、雙曲線、圓的標準方程，直線與橢圓、拋物線的位置關系，和差倍半的三角函數。

點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的定義及橢圓、雙曲線的幾何性質。（2）通過研究圓與圓的位置關系，證明了“定值”。（3）通過將點的坐標代入橢圓方程確定得到，利用三角函數性質，進一步確定得到步驟的范圍。