Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，設底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥面ABCD．

（1）求證：PC⊥BD；
（2）過BD且與直線PC垂直的平面與PC交于點E，當三棱錐E﹣BCD的體積最大時，求二面角E﹣BD﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，

由此推出PA⊥BD，

又AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC，而PC平面PAC，所以推出PC⊥BD

（2）解：設PA=x，三棱錐E﹣BCD的底面積為定值，求得它的高 ，

當 ，即 時，h最大值為 ，三棱錐E﹣BCD的體積達到最大值為 ．

以點A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標系，則 ，令E（x，y，z）， ， ，得 ，∴ ，

設 是平面EBD的一個法向量， ， ，

則 ，得 ．

又 是平面BCD的一個法向量，

∴ ，∴二面角E﹣BD﹣C為

【解析】（1）證明BD⊥AC，PA⊥BD，即可證明BD⊥平面PAC，然后推出PC⊥BD．（2）設PA=x，三棱錐E﹣BCD的底面積為定值，求得它的高 ，求出三棱錐E﹣BCD的體積的最大值，以點A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標系，求出平面EBD的一個法向量，平面BCD的一個法向量，利用向量的數量積求解即可．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的性質，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．