Question

（2012•許昌一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+ax²．
（I）試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（II）證明：

n

k=2

(

1

k

-ln

1

k

)＞

n-1

2(n+1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）使得函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則有f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，由此可求a的范圍；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）問(wèn)結(jié)論，令a=1，此時(shí)f（x）＜0對(duì)x∈（0，1）恒成立，由此構(gòu)造不等式，再令x=

1

k

，對(duì)

n

k=2

(

1

k

-ln

1

k

)進(jìn)行放縮變形即可．

解答：（Ⅰ）解：定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=

1

x

-1+2ax=

2ax2-x+1

x

．
令g（x）=2ax²-x+1，
∵g（0）=1，∴g（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．即a≥

x-1

2x2

對(duì)x∈∈（0，+∞）恒成立．
令h（x）=

x-1

2x2

=-

1

2

(

1

x

)2+

1

2

(

1

x

)=-

1

2

(

1

x

-

1

2

)2+

1

8

．
∴a≥

1

8

，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅱ）證明：取a=1，由（Ⅰ）知此時(shí)f（x）在（0，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵f（1）=0，∴f（x）＜0對(duì)x∈（0，1）恒成立，即x-lnx＞x²．
取x=

1

k

，∵

1

k

∈（0，1），∴

1

k

-ln

1

k

＞(

1

k

)2．
∴

n

k=2

(

1

k

-ln

1

k

)＞

n

k=2

(

1

k

)2＞

n

k=2

1

k(k+1)

=

n

k=2

(

1

k

-

1

k+1

)=

1

2

-

1

n+1

=

n-1

2(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，一是研究函數(shù)單調(diào)性，二是證明不等式，證明不等式的關(guān)鍵是利用條件恰當(dāng)構(gòu)造不等式，對(duì)能力要求較高．