Question

已知函數f（x）=sinx，將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，則關于f（x）g（x）有下列命題，其中真命題的個數是（　　）
①函數y=f（x）•g（x）是偶函數；               
②函數y=f（x）•g（x）是周期函數；
③函數y=f（x）•g（x）的圖象關于點（

π

2

，0）中心對稱；
④函數y=f（x）•g（x）的最大值為

4 3

9

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,導數的概念及應用,三角函數的圖像與性質

分析：根據題意，求出y=f（x）•g（x）的解析式，判斷：
①根據函數的奇偶性定義即可得出結論是否正確；
②根據周期函數的定義即可判斷是否正確；
③根據f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）得出函數y的圖象關于點（

π

2

，0）中心對稱；
④利用換元法求出y的最大值即可．

解答： 解：根據題意，∵f（x）=sinx，∴g（x）=sin2x，∴y=f（x）•g（x）=sinx•sin2x；
對于①，∵f（-x）•g（-x）=sin（-x）•sin2（-x）=（-sinx）•（-sin2x）=sinxsin2x=f（x）•g（x），
∴y=f（x）•g（x）是偶函數，①正確；
對于②，∵f（2π+x）•g（2π+x）=sin（2π+x）•sin（4π+2x）=sinx•sin2x=f（x）•g（x），
∴y=f（x）•g（x）是周期函數，②正確；
對于③，∵f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=sin（

π

2

+x）sin（π+2x）=cosxsin2x
f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）=sin（

π

2

-x）sin（π-2x）=-cosxsin2x
∴f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）
∴y=f（x）•g（x）的圖象關于點（

π

2

，0）中心對稱，③正確；
對于④，y=f（x）•g（x）=sinxsin2x=2sin²xcosx=2（1-cos²x）cosx，
設t=cosx，t∈[-1，1]，
∴y=2t-2t³，求導得y′=2-6t²；
∴當t∈[-1，-

3

3

）時，y′＜0，函數y是減函數，
當t∈（-

3

3

，

3

3

）時，y′＞0，函數y是增函數，
當t∈（

3

3

，1]時，y′＜0，函數y是減函數；
∴當t=

3

3

時，y取得最大值是y_max=2×

3

3

-2×(

3

3

)3=

4 3

9

，④正確；
綜上，正確的命題是①②③④，4個．
故選：D．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用，也考查了導數的綜合應用問題，是綜合題．