Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，短軸長為2．
（1）求橢圓方程；
（2）若橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，經過點(0，

2

)且斜率k的直線l與橢圓交于不同的兩點P、Q．是否存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用條件2b=2，

c

a

=

2

2

，求出a，b，c即可求出橢圓方程；
（2）先把直線方程和橢圓方程聯立消去y，對應判別式大于0，找到一個關于k的不等式．再求出向量OP，OQ，AB的坐標，利用向量

OP

+

OQ

與

AB

共線求出k的值，看是否滿足判別式大于0即可下結論．

解答：解：（1）由已知得

2b=2 c a =1 a2=b2+c2

?

a= 2 b=1 c=1

故橢圓方程是

x2

2

+y2=1（4分）
（2）由已知條件，直線l：y=kx+

2

，代入橢圓方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．（6分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B（0，1），

AB

=(-

2

，1)，
所以

OP

+

OQ

與

AB

共線等價于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)，
將②③代入上式，解得k=

2

2

，（10分）
又k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故沒有符合題意的常數k．（12分）

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．在研究直線與圓錐曲線的位置關系時，通常是把直線方程和橢圓方程聯立消去其中一個變量，得到一個關于直線與圓錐曲線交點坐標的方程，再利用題中條件求解．