Question

【題目】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB= ，CE=EF=1． （Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G． 因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG= AC=1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形，
所以AF∥EG，
因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）連接FG．因?yàn)镋F∥CG，EF=CG=1，
且CE=1，所以平行四邊形CEFG為菱形．所以CF⊥EG．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC．
又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面ACEF．
所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，
所以CF⊥平面BDE．

【解析】（Ⅰ）證明平面BDE外的直線AF平行平面BDE內(nèi)的直線GE，即可證明AF∥平面BDE；（Ⅱ）證明CF垂直平面BDF內(nèi)的兩條相交直線：BD、EG，即可證明求CF⊥平面BDF；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行，以及對(duì)直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．