Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓的方程為，且圓與軸交于兩點，設直線的方程為.

（1）當直線與圓相切時，求直線的方程；

（2）已知直線與圓相交于兩點.（i），求直線的方程；（ii）直線與直線相交于點，直線，直線，直線的斜率分別為，，，是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）直線的方程為；（ii）存在常數，使得恒成立.

【解析】

（1）利用圓心到直線的距離等于半徑構造關于的方程，解方程求得結果；（2）（i）設，由可得，代入圓的方程可求解出點坐標，從而得到斜率，求得直線方程；（ii）將直線方程代入圓的方程可求得點坐標；同理將直線方程代入圓的方程可求得點坐標；利用可求得的關系，利用表示出點坐標，整理可得，進而可得到滿足，得到常數.

（1）由題意， 圓心到直線的距離

直線與圓相切 ，解得：

直線方程為：

（2）（i）設，由得：

由，解得：

直線的方程為：

（ii）由題意知：，

則，與圓聯立得：

同理可得：

，整理可得：

設

，即

存在常數，使得恒成立