Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若函數有零點，其實數的取值范圍．

（Ⅱ）證明：當時， ．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，討論兩種情況，分別研究函數的單調性，求其最值，結合函數的圖象和零點定理即可求出的取值范圍；（2）問題轉化為，令，令，利用導數研究函數的單調性，分類討論求出函數的最值，即可證明.

試題解析：（1）函數的定義域為.由，得.

①當時， 恒成立，函數在上單調遞增，又，所以函數在定義域上有個零點.

②當時，則時， 時， .所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.當.當，即時，又，所以函數在定義域上有個零點.

綜上所述實數的取值范圍為.

（2）要證明當時， ，即證明當時， ，即，令，則，當時， ；當時， .所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.當時， .于是，當時， .①令，則.當時， ；當時， .所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.當時， .于是，當時， .②顯然，不等式①、②中的等號不能同時成立.

故當時， ).