Question

【題目】已知直線l：與曲線C：（，）交于不同的兩點A，B，O為坐標(biāo)原點.

（1）若，，求證：曲線C是一個圓；

（2）若曲線C過、，是否存在一定點Q，使得為定值？若存在，求出定點Q和定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，定點，

【解析】

（1）設(shè)直線l與曲線C的交點為，，由兩點間距離公式及可得，將A，B代入曲線方程，作差化簡變形即可證明，因而可知曲線C是一個圓；

（2）由曲線C過、，可得曲線C為橢圓，且求得標(biāo)準(zhǔn)方程，假設(shè)存在點 ，設(shè)交點為，，聯(lián)立直線與橢圓，并由韋達(dá)定理表示出，,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，代入化簡即可確定所過定點坐標(biāo)，亦可求得的值.

（1）證明：設(shè)直線l與曲線C的交點為，

，

即，

∴

∵A，B在曲線C上，

∴，，

∴兩式相減得

∴即,所以，

∴曲線C是一個圓.

（2）由題意知，橢圓C的方程為,

假設(shè)存在點 ，設(shè)交點為，，

由得，,

，,

直線l：恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立.

當(dāng)時，即，時,

故存在定點，不論k為何值，為定值.