【題目】已知圓
，圓
，動圓
與圓
外切并與圓
內切，圓心的軌跡為曲線
.
（1）求的方程；
（2）若直線
與曲線交于
兩點，問是否在
軸上存在一點
，使得當
變動時總有
？若存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
試題（1）利用橢圓定義求軌跡方程：先由動圓
與圓
外切并與圓
內切，得
，從而
，再由橢圓的定義可知，曲線
是以
為左右焦點，長半軸長為2，短半軸為
的橢圓（左頂點除外），其方程為（2）條件
就是
，利用坐標化簡得：設
，則
，再聯立直線方程與橢圓方程，消去y，利用韋達定理得
，代入化簡得
試題解析：（1）得圓的圓心為
，半徑
；圓的圓心
，半徑
.設圓的圓心為
，半徑為
.因為圓與圓外切并與圓內切，所以
由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點，長半軸長為2，短半軸為的橢圓（左頂點除外），其方程為
（2）假設存在
滿足.設
聯立
得
，由韋達定理有
①，其中
恒成立，
由（顯然
的斜率存在），故，即
②，
由
兩點在直線
上，故
代入②得：
即有
③
將①代入③即有：
④，要使得④與
的取值無關，當且僅當“”時成立，綜上所述存在，使得當變化時，總有
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l：
與曲線C：
（
，
）交于不同的兩點A，B，O為坐標原點.
（1）若
，
，求證：曲線C是一個圓；
（2）若曲線C過
、
，是否存在一定點Q，使得
為定值？若存在，求出定點Q和定值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數f(x)=sin 3x-
cos 3x+1的圖象向左平移
個單位長度，得到函數g(x)的圖象，給出下列關于g(x)的結論：
①它的圖象關于直線x=
對稱；
②它的最小正周期為
；
③它的圖象關于點(
，1)對稱；
④它在[
]上單調遞增.
其中所有正確結論的編號是（ ）
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了了解高一年級學生學習數學的狀態,從期中考試成績中隨機抽取50名學生的數學成績,按成績分組:第1組
,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學生數學成績的中位數和平均數(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優秀”等次,則根據頻率分布直方圖估計該校高一學生數學成績達到“優秀”等次的人數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方體
的棱長為2，
分別為
的中點，則以下說法錯誤的是（ ）
A.平面
截正方體所的截面周長為
B.存在
上一點
使得
平面
C.三棱錐
和
體積相等
D.存在上一點使得
平面
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用
，化簡，得
.設勾股形中勾股比為
，若向弦圖內隨機拋擲
顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數大約為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已如橢圓C：
的兩個焦點與其中一個頂點構成一個斜邊長為4的等腰直角三角形.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設動直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若
，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.
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