Question

某工廠去年某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預計產量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產品的固定成本為（k＞0，k為常數，n∈Z且n≥0），若產品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為f（n）萬元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表達式；
（2）問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據每只產品的固定成本為8元及關系式為，可求k的值，利用第n次投入后的年利潤為f（n）萬元，可建立函數關系式；
（2）先由（1）可得利潤函數，再用基本不等式求最高利潤．
解答：解：（1）由，當n=0時，由題意，可得k=8，
所以f（n）=（100+10n）．
（2）由-80．
當且僅當=，即n=8時取等號，所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元
點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求最值，關鍵是從實際問題中抽象出數學模型．