Question

已知拋物線C：x²=2py（p為正常數）的焦點為F，過F做一直線l交C于P，Q兩點，點O為坐標原點．
（1）若△POQ的面積記為S，求

S2

|PQ|

的值；
（2）若直線l垂直于y軸，過點Q做關于直線l的對稱的兩條直線l₁，l₂分別交拋物線C于M，N兩點，證明：直線MN斜率等于拋物線在點Q處的切線斜率．

Answer 1

分析：（1）顯然直線l斜率存在，F(0，

p

2

)，設l：y=kx+

p

2

代入代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得求

S2

|PQ|

的值，從而解決問題．
（2）不妨設P(-p，

p

2

)，Q(p，

p

2

)，利用直線與拋物線的交點坐標求得點M，N的坐標x_M，x_N再利用直線的斜率公式求出直線MN的斜率，及拋物線在點Q處的切線斜率即可得到證明．

解答：解（1）顯然直線l斜率存在，F(0，

p

2

)
設l：y=kx+

p

2

代入C：x²=2py得x²-2pkx-p²=0，x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，（2分）
求得弦長|PQ|=2p（1+k²），原點到直線l距離

p

2 1+k2

，（2分）
S2=

1

4

•(

p

2 1+k2

)2|PQ|2，所以

S2

|PQ|

=

p3

8

（2分）
（2）不妨設P(-p，

p

2

)，Q(p，

p

2

)，
設l1：y=k1(x+p)+

p

2

代入C：x²=2py
得x²-2pk₁x-2p²k₁-p²=0，x_Px_M=-2k₁p²-p²，
所以x_M=2k₁p+p，同理x_N=2k₂p+p，（2分）k₁+k₂=0，
kMN=

yM-yN

xM-xN

=

xM+xN

2p

=1，（2分）
拋物線在點Q處的切線斜率y′=

2x

2p

|x=p=1=kMN，得證（2分）

點評：當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．