Question

已知拋物線C：x²=2py，過點A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

Answer 1

分析：（1）根據OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把至西安的方程代入拋物線方程后把根與系數的關系代入x₁x₂+y₁y₂=0 求出p的值，即得拋物線方程．
（2）求出點Q的坐標，分三種情況討論等腰三角形的底邊，求出MN的斜率，用點斜式求得MN的方程．

解答：解：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x2=2py y=kx+4

得x2-2pkx-8p=0…（*）得x1x2=-8p，y1y2=

x12

2p

•

x22

2p

=16，
所以-8p+16=0，p=2，拋物線方程為x²=4y．
（2）方程（*）為x²-4kx-16=0，則得

x1x2=-16 x1+x2=4k

?

y1y2= x12 2p • x22 2p =16 y1+y2=4k2+8

，且Q（x₂，-4）
①若△MNQ是以MQ為底邊的等腰三角形，KOM=

y1

x1

=

x1

2p

=

x1

4

，KOQ=

-4

x2

=

x1

4

，
所以M，O，Q三點共線，而MQ⊥ON，所以O為MQ的中點，則x₁+x₂=0，k=0，則直線MN的方程為y=4．
②若△MNQ是以NQ為底邊的等腰三角形，作MG∥x軸交QN于G，G（x₂，y₁），則G為QN中點，2y₁+4=y₂，
又

y1y2=16 y1+y2=4k2+8

，得k=±

2

2

，則直線MN的方程為y=±

2

2

x+4．
③若△MNQ是以NM為底邊的等腰三角形，則MN的中點P（2k，2k²+4），且x2=2k±

4k2+16

，
由QP⊥MN，得 

2k2+8

2k-(2k± 4k2+16 )

=-

1

k

，±

k2+4

=-

1

k

，
得

k＞0 k2+4 = 1 k

或

k＜0 k2+4 =- 1 k

?k=±

5 -2

，所以直線MN的方程為y=±

5 -2

x+4．
綜上，當△QMN為等腰三角形時，直線MN的方程為：y=4，或y=±

2

2

x+4，或y=±

5 -2

x+4．

點評：本題考查拋物線的標準方程，用點斜式求出直線的方程，體現了分類討論的數學思想，求出直線的斜率，是解題的關鍵．