Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為

1

2

．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用焦點F到準線的距離為

1

2

，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）先把直線MN的方程用點N的坐標表示出來，令y=0求出點M的坐標；進而求出直線NQ與QP的斜率，再結合k_PM•k_NQ=-1以及

MQ

與

MP

共線，得到x和t之間的關系即可求出t的最小值．

解答：解：（1）因為：焦點F到準線的距離為

1

2

．
所以：p=

1

2

．
所以所求方程為：x²=y
（2）設P（t，t²），Q（x，x²），N（x₀x₀²），則直線MN的方程為y-x₀²=2x₀（x-x₀）
令y=0，得M(

x0

2

，0)，
∴kPM=

t2

t- x0 2

=

2t2

2t-x0

，kNQ=

x 2 0 -x2

x0-x

=x0+x
∵NQ⊥QP，且兩直線斜率存在，
∴k_PM•k_NQ=-1，即

2t2

2t-x0

(x0+x)=-1，
整理得x0=

2t2x+2t

1-2t2

(1)，又Q（x，x²）在直線PM上，
則

MQ

與

MP

共線，得x0=

2xt

x+t

(2)
由（1）、（2）得

2t2x+2t

1-2t2

=

2xt

x+t

(t＞0)，
∴t=

x2+1

3x

，
∴t≥

2

3

或t≤-

2

3

（舍）
∴所求t的最小值為

2

3

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．第一問涉及到拋物線的標準方程的求法，解決第一問的關鍵在于知道焦點F到準線的距離即為p的值．