Question

【題目】設橢圓E： + =1（a＞0）的焦點在x軸上．
（Ⅰ）若橢圓E的離心率e= a，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為直線x+y=2 與橢圓E的一個公共點，直線F2P交y軸于點Q，連結F1P，問當a變化時， 與 的夾角是否為定值，若是定值，求出該定值，若不是定值，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由 得
a4﹣25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故橢圓E的方程為 ；
（Ⅱ）設P（x0 ， y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），則c2=2a2﹣8，
聯立 得8x2﹣4 x+a4=0，
即（2 ﹣a2）2 ， 故 ， ，
直線PF2的方程為 ，令x=0，則 ，即點Q的坐標為（0， ），
故 ，
故 =
故 與 的夾角為定值 ．
【解析】（Ⅰ）由題知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由 得a4﹣25a2+100=0，可得a2；（Ⅱ）設P（x0 ， y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），則c2=2a2﹣8，聯立 得點P坐標，寫出直線PF2的方程求出點Q的坐標．由 = ，可得 與 的夾角
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．