Question

【題目】已知偶函數滿足且，當時,，關于的不等式在上有且只有200個整數解，則實數的取值范圍為（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

判斷f（x）在（0，8）上的單調性，根據對稱性得出不等式在一個周期（0，8）內有4個整數解，再根據對稱性得出不等式在（0，4）上有2個整數解，從而得出a的范圍．

當0＜x≤4時，f′（x）=，

令f′（x）=0得x=，

∴f（x）在（0，）上單調遞增，在（，4）上單調遞減，

∵f（x）是偶函數，

∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），

∴f（x）的周期為8，

∵f（x）是偶函數，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200個整數解，

∴不等式在（0，200）內有100個整數解，

∵f（x）在（0，200）內有25個周期，

∴f（x）在一個周期（0，8）內有4個整數解，

（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，

顯然f（x）＞0在一個周期（0，8）內有7個整數解，不符合題意；

（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，

顯然f（x）＜0在區間（0，8）上無解，

∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4個整數解，

∵f（x）在（0，8）上關于直線x=4對稱，

∴f（x）在（0，4）上有2個整數解，

∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，

∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整數解為x=1，x=2．

∴≤﹣a＜ln2，

解得﹣ln2＜a≤﹣．

故答案為：D