【題目】已知函數
．
（Ⅰ）當
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）當
時，求證：
對任意
成立.
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
（Ⅰ）先求導數得到切線斜率，再求解切線方程；
（Ⅱ）通過求解
的最小值來比較大小.
（Ⅰ）因為
所以
當
時，
所以
，而
曲線
在
處的切線方程為
化簡得到
（Ⅱ）法一：
因為，令
得
當
時，
，
，在區間
的變化情況如下表:
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| 0 |
| 0 |
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| 極大值 |
| 極小值 |
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所以在
上的最小值為
中較小的值，
而
，所以只需要證明
因為
，所以
設
，其中
，所以
令
，得
，
當時，，
，
在區間的變化情況如下表:
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| 0 |
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| 極小值 |
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所以在上的最小值為
，而
注意到
，所以
，問題得證
法二：
因為“對任意的，
”等價于“對任意的，
”
即“，
”，故只需證“，
”
設
，所以
設
，
令，得
當時，，
，
在區間的變化情況如下表:
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| 0 |
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| 極小值 |
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所以 上的最小值為
，而
所以時，
，所以
在上單調遞增
所以
而
，所以
，問題得證
法三：
“對任意的，
”等價于“在上的最小值大于
”
因為，令
得
當時，，，在在上的變化情況如下表:
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| 0 |
| 0 |
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| 極大值 |
| 極小值 |
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所以在上的最小值為中較小的值，
而，所以只需要證明
因為，所以
注意到
和，所以
設
，其中
所以
當時，
，所以單調遞增，所以
而
所以
，問題得證
法四：
因為，所以當時，
設
，其中
所以
所以，，的變化情況如下表:
