Question

（2008•湖北模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是矩形，且AD=

2

AB，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E為AD的中點，F為PC的中點．
（1）求證：EF為AD及PC的公垂線（2）求直線BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

分析：方法一：（1）利用空間向量，欲證EF為AD及PC的公垂線，因為E，F兩點分別在AD，PC上，只需證明

AD

•

EF

=0，

PC

•

EF

=0，建立空間直角坐標系，用向量的數量積公式計算即可．
（2）欲求直線BD與平面BEF所成的角，只需把求出EF的方向向量與平面BEF的法向量所成的角，則求直線BD與平面BEF所成的角等于該角或其補角．
方法二：（1）欲證EF為AD及PC的公垂線，因為E，F兩點分別在AD，PC上，只需證明EF⊥PC，EF⊥AD，連接FO、OE、EP、EC，通過夠造的三角形EPC為等腰三角形，證明EF⊥PC，利用三垂線定理證明EF⊥AD．
（2）欲求直線BD與平面BEF所成的角，只需找到直線BD在平面BEF上的射影，則BD與它的射影所成角即為所求．過O作OH⊥平面EFB于H，連BH，∠OBH為所求BD與平面EFB所成的角，再利用等體積法求出OH即可．

解答：解；方法一：
設AB=1，則AD=

2

（1）A（0，0，0）B（0，1，0）C(

2

，1，0)D(

2

，0，0)E(

2

2

，0，0)P（0，0，1）F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)

AD

=(

2

，0，0)    

PC

=(

2

，1，-1) 

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
∴

AD

•

EF

=0 

PC

•

EF

=-

1

2

+

1

2

=0
∴AD⊥EF    PC⊥EF
故PC為AD及EF的公垂線                            
（2）

EB

=(-

2

2

，1，0) 

PC

•

EB

=-1+1+0=0
∴PC⊥EB∴PC⊥平面EFB故

PC

可看成平面EFB的法向量
故sinα=

PC  • BD

| PC || BD |

=

2-1

2× 3

=

3

6

方法二：
（1）連FO、OE、EP、EC∵EP²=EA²+AP² EC²=ED²+CD²
又∵AB=AP=CD    EA=ED∴EP=EC
又∵F為PC的中點∴EF⊥PC
又∵OF∥AP∴OF⊥平面ABCD
而OE⊥AD∴EF⊥AD
故EF為AD及PC的公垂線                             
（2）過O作OH⊥平面EFB于H，連BH，∠OBH為所求BD與平面EFB所成的角                                                
設AD=

2

AB=1EF2=(

1

2

)2+(

1

2

)2=

1

2

BF2=(

1

2

)2+(

3

2

)2=1
∴EF²+BF²=BE²∴V_O-EFB=V_F-OEB

1

3

×

1

2

×

2

2

×1×OH=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

1

2

×

1

2

∴OH=

1

4

sin∠OBH=

1 4

3 2

=

3

6

點評：本題主要考查了兩異面直線公垂線的判斷，以及直線與平面所成角的求法，綜合考查了學生的識圖能力，空間想象力，計算能力．