Question

函數f（x）=x²-2ax-1，x∈[0，2]．
（1）若a=1，寫出函數f（x）在[0，2]上的單調區間（不必證明）；
（2）求函數f（x）在[0，2]上的最值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）f（x）=x²-2x-1，開口向上，對稱軸為x=1；從而寫出單調區間．
（2）由二次函數的性質，討論對稱軸的位置，以確定最值．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2x-1，
開口向上，對稱軸為x=1；
則函數f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增；
（2）①若a≤0，則f（x）在[0，2]上單調遞增，
則f_max（x）=f（2）=4-4a-1=3-4a，
f_min（x）=f（0）=-1，
②若0＜a≤1，則f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增；
且f（0）≤f（2），
則f_max（x）=f（2）=4-4a-1=3-4a，
f_min（x）=f（a）=-a²-1，
③若1＜a＜2，則f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增；
且f（0）＞f（2），
則f_max（x）=f（0）=-1，
f_min（x）=f（a）=-a²-1，
④若a≥2，則f（x）在[0，2]上單調遞減，
則f_max（x）=f（0）=-1，
f_min（x）=f（2）=3-4a．

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．