Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）＞0在（0，

1

2

）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式，求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）＞0在（0，

1

2

）內(nèi)恒成立，即對(duì)x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，令l（x）=2-

2lnx

x-1

，則l′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，得l（x）在（0，

1

2

）遞增，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a=1時(shí)：f（x）=x-1-2lnx，
∴f′（x）=1-

2

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)f（x）＞0在（0，

1

2

）內(nèi)恒成立，
即對(duì)x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令l（x）=2-

2lnx

x-1

，則l′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
令m（x）=2lnx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），
則m′（x）=

-2(1-x)

x2

＜0，
∴m（x）在（0，

1

2

）遞減，
∴m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，
∴l(xiāng)′（x）＞0，
∴l(xiāng)（x）在（0，

1

2

）遞增，
∴要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
只需a∈[2-4ln2，+∞）．
a≥2-4ln2；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．