Question

已知集合M是滿足下列條件的函數f（x）的全體：（1）當x∈[0，+∞）時，函數值為非負實數；（2）對于任意的s、t，都有f（s）+f（t）≤f（s+t）；在三個函數f₁（x）=x，f₂（x）=2^x-1，f₃（x）=ln（x+1）中，屬于集合M的是

f₁（x）=x

．

Answer 1

分析：對于三個函數f₁（x）=x，f₂（x）=2^x-1，f₃（x）=ln（x+1）一一加以驗證：（1）當x∈[0，+∞）時，函數值為非負實數成立；；（2）對于任意的s、t，都有f（s）+f（t）=s+t，f（s+t）=s+t，都有f（s）+f（t）≤f（s+t）即可．

解答：解：A：對于函數f₁（x）=x，：（1）當x∈[0，+∞）時，函數值為非負實數成立；（2）對于任意的s、t，都有f（s）+f（t）=s+t，f（s+t）=s+t，都有f（s）+f（t）≤f（s+t）；故f₁（x）=x屬于集合M；
B：對于函數f₂（x）=2^x-1，：（1）當x∈[0，+∞）時，函數值2^x-1為非負實數成立．（2）但對于任意的s、t，都有f（s）+f（t）=2^s+2^t-2，f（s+t）=2^s+t-1，不是都有f（s）+f（t）≤f（s+t），舉例，將x=-1和1代入，便可得出f₂（x）=2^x-1不屬于M．
C：對于函數f₃（x）=ln（x+1），：（1）當x∈[0，+∞）時，函數值f₃（x）=ln（x+1）為非負實數成立；（2）但對于任意的s、t，都有ln（s+1）+ln（t+1）=ln（s+1）（t+1）=ln（st+1+s+t）＞=ln（1+s+t），故f₃（x）=ln（x+1）屬于集合M；
故答案為：f₁（x）=x

點評：本題主要考查了元素與集合關系的判斷，解答的關鍵是利用函數的性質及運算法則，另外注意特殊值的應用．