Question

如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2:+=1(a>b>0)的兩個焦點.

(1)求橢圓C2的離心率;

(2)設(shè)點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）x2+y=1 +y2=1

【解析】

解:(1)因為拋物線C1經(jīng)過橢圓C2的兩個焦點F1(-c,0),F2(c,0),

所以c2+b×0=b2,

即c2=b2.

又a2=b2+c2=2c2,

所以橢圓C2的離心率e=.

(2)由(1)可知a2=2b2,

橢圓C2的方程為+=1.

聯(lián)立拋物線C1的方程x2+by=b2,

得2y2-by-b2=0,

解得y=-或y=b(舍去),

所以x=±b,

即M（b,-）,N（b,-）,

所以△QMN的重心坐標(biāo)為(1,0).

因為重心在C1上,

所以12+b×0=b2,得b=1.

所以a2=2.

所以拋物線C1的方程為x2+y=1,

橢圓C2的方程為+y2=1.