Question

（2013•嘉興二模）如圖，已知拋物線C1：x2=2py的焦點在拋物線C2：y=

1

2

x2+1上，點P是拋物線C₁上的動點．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程及其準線方程；
（Ⅱ）過點P作拋物線C₂的兩條切線，M、N分別為兩個切點，設點P到直線MN的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意拋物線C₁的焦點為拋物線C₂的頂點（0，1），由此算出p=2，從而得到拋物線C₁的方程，得到C₁的準線方程；
（II）設P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，用直線方程的點斜式列出直線PM方程并將點P坐標代入，化簡可得

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0，同理得到

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．然后利用一元二次方程根與系數的關系，算出x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2，將直線MN的兩點式方程化簡并代入前面算出的式可得MN的方程為y=2tx+2-t²．最后利用點到直線的距離公式列式，采用換元法并且運用基本不等式求最值，即可算出P到直線MN的距離d的最小值為

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₁的方程為x²=2py，∴拋物線的焦點為F(0，

p

2

)，…（2分）
∵拋物線C1：x2=2py的焦點在拋物線C₂上
∴

p

2

=1，可得p=2．…（4分）
故拋物線C₁的方程為x²=4y，其準線方程為y=-1．…（6分）
（Ⅱ）設P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，
可得PM的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=x1(x-x1)，
∴點P坐標代入，化簡得t2=2tx1-

1

2

x

2 1

+1，即

x

2 1

-4tx1+2t2-2=0．
同理可得PN：y=x2x-

1

2

x

2 2

+1，得

x

2 2

-4tx2+2t2-2=0．…（8分）
由

x 2 1 -4tx1+2t2-2=0  x 2 2 -4tx2+2t2-2=0

得x₁、x₂是方程

x

2

-4tx +2t2-2=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2．…（*）
∵MN的方程：y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1 2 x 2 1 +1-( 1 2 x 2 2 +1)

x1-x2

(x-x1)，
∴化簡整理，得y-(

1

2

x

2 1

+1)=

1

2

(x1+x2)(x-x1)
代入（*）式，可得MN的方程為y=2tx+2-t²．…（12分）
于是，點P到直線MN的距離d=

|4t2-t2+2-t2|

1+4t2

=2

(1+t2)2 1+4t2

．
令s=1+4t²（s≥1），則d=

1

2

s+ 9 s +6

≥

1

2

6+6

=

3

（當s=3時取等號）．
由此可得，當P坐標為（±

2

，

1

2

）時，點P到直線MN的距離d的最小值為

3

．…（15分）

點評：本題給出拋物線C₁的焦點為拋物線C₂的頂點，求拋物線C₁的方程并討論過拋物線C₁上動點P作拋物線C₂的兩條切線的問題．著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、一元二次方程根與系數的關系和直線與圓錐曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．