Question

如圖，已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與圓交于M、N兩點(diǎn)，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C₂相切．
（ⅰ）若直線l與拋物線C₁也相切，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l與拋物線C₁交與不同的A、B兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）不妨設(shè)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，根據(jù)題意可得：OM與x軸正半軸成30°，根據(jù)半徑得到點(diǎn)M的坐標(biāo)再代入拋物線的方程進(jìn)而得到P的值，即可求出拋物線的方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+b，由題意可得：9b²=16（k²+1），
（ⅰ）設(shè)直線l與拋物線C₁相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)解決相切問(wèn)題，即可得到k，t，b的兩個(gè)關(guān)系式，結(jié)合上面所求的關(guān)系式進(jìn)而求出k與b的值，得到直線方程．
（ⅱ）由直線與拋物線相交可得b與k的一個(gè)關(guān)系式，結(jié)合結(jié)合上面所求的關(guān)系式求出b的范圍，再結(jié)合韋達(dá)定理利用b表示出，進(jìn)而求出其范圍．
解答：解：（Ⅰ）不妨設(shè)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，
因?yàn)椤螹ON=120°，所以O(shè)M與x軸正半軸成30°角，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
即可將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程得，
解得p=1，
所以拋物線C₁的方程為x²=2y…（3分）
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+b，即kx-y+b=0
因?yàn)閘與圓C₂相切，所以，即9b²=16（k²+1）---（1）…（5分）
（ⅰ）設(shè)直線l與拋物線C₁：x²=2y即相切于點(diǎn)
因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=x，所以----（2）
由（1）（2）解得或
所以直線l的方程為或…（9分）
（ⅱ）聯(lián)立直線l的方程與圓的方程，整理得x²-2kx-2b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
由△=4k²+8b＞0得k²+2b＞0----（3）
由（1）（3）可得，解得
所以
即的取值范圍是…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與拋物線、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題．