Question

【題目】我市南澳縣是廣東唯一的海島縣，海區面積廣闊，發展太平洋牡蠣養殖業具有得天獨厚的優勢，所產的“南澳牡蠣”是中國國家地理標志產品，產量高、肉質肥、營養好，素有“海洋牛奶精品”的美譽．根據養殖規模與以往的養殖經驗，產自某南澳牡蠣養殖基地的單個“南澳牡蠣”質量（克）在正常環境下服從正態分布．

（1）購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會買到質量小于20g的牡蠣的可能性有多大？

（2）2019年該基地考慮增加人工投入，現有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數據如下：

人工投入增量x（人）	2	3	4	6	8	10	13
年收益增量y（萬元）	13	22	31	42	50	56	58

該基地為了預測人工投入增量為16人時的年收益增量，建立了y與x的兩個回歸模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；

模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線：的附近，對人工投入增量x做變換，令，則，且有．

（i）根據所給的統計量，求模型②中y關于x的回歸方程（精確到0.1）；

（ii）根據下列表格中的數據，比較兩種模型的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測人工投入增量為16人時的年收益增量．

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	182.4	79.2

附：若隨機變量，則，；

樣本的最小二乘估計公式為：，

另，刻畫回歸效果的相關指數

Answer 1

【答案】（1）1.29%；（2）（i），（ii）見解析

【解析】

（1）根據正態分布的對稱性得到，購買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質量小于20g的牡蠣為X只，故，由間接法列式得到結果即可；（2）（i）根據公式計算得到回歸直線方程；（ii）通過比較的大小可得到擬合效果的差異，將x=16代入回歸方程可得到預測值.

（1）由已知，單個“南澳牡蠣”質量，則，

由正態分布的對稱性可知，

，

設購買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質量小于20g的牡蠣為X只，故，

故，

所以這10只“南澳牡蠣”中，會買到質量小于20g的牡蠣的可能性僅為1.29%．

（2）（i）由，有

，

且，

所以，模型②中關于的回歸方程為

（ii）由表格中的數據，有，即模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．

當時，模型②的收益增量的預測值為

（萬元），

這個結果比模型①的預測精度更高、更可靠．