Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經過點M（2，1），直線y=

1

2

x-1與橢圓交于A，B兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）求線段AB中點的橫坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意，橢圓經過點M（2，1），離心率為

3

2

，建立方程組，求出a，b，由此可得橢圓的方程；
（2）利用點差法，結合直線的斜率，即可求線段AB中點的橫坐標．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經過點M（2，1），
∴

a2-b2 a2 = 3 4 4 a2 + 1 b2 =1

，
∴a²=8，b²=2，
∴橢圓方程方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點坐標為（a，b），
則x₁²+4y₁²=8，x₂²+4y₂²=8，
兩式相減，結合直線y=

1

2

x-1可得2a+8b•

1

2

=0，即a+2b=0，
∵b=

1

2

a-1，
∴a=1，即線段AB中點的橫坐標為1．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關系的綜合運用，考查點差法的運用，屬于中檔題．