Question

（文科）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點．求證：
（1）PA⊥底面ABCD；     
（2）BE∥平面PAD；     
（3）平面BEF⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據條件，利用平面和平面垂直的性質定理可得PA⊥平面ABCD；
（2）根據已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE∥AD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE∥平面PAD．
（3）先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD．現證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質可得EF∥PD，從而證得CD⊥EF．利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理證得平面BEF⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PA⊥AD，PA?平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD．
（2）因為AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，
所以AB∥DE，且AB=DE，
所以ABED為平行四邊形，
所以BE∥AD．
又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（3）因為AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD．
由（1）知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD．
又因為AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD．
因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，
所以CD⊥平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PCD．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理，直線和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性質定理的應用，屬于中檔題．