Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)作兩條直線分別與圓：相切于，且為直角三角形. 又知橢圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最大距離為.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線：(其中)與圓相切，且直線與橢圓交于，求的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）圓的方程為：；橢圓的方程為：.（2）

【解析】

（1）由橢圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最大距離為，求出；再由為直角三角形，求出，進(jìn)而可求出；即可得到橢圓及圓的方程；

（2）由直線和圓相切，得到，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理求出和，用弦長(zhǎng)公式求出，再表示出，化簡(jiǎn)即可得到答案.

（1）由題意，橢圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最大距離為，

所以，又，所以；

為直角三角形，所以，又，

所以，即，解得；

又，解得；

圓的方程為：；橢圓的方程為：

（2）由題意，與圓相切：

由點(diǎn)到直線距離公式，，即；

設(shè)，，

由，整理得，

由，得…(※)，

且，，

由弦長(zhǎng)公式，，

由，，

得，

的周長(zhǎng)為.