Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，沿將折起，使得點到點位置，且，為的中點，是上的動點（與點，不重合）.

（Ⅰ）證明：平面平面垂直；

（Ⅱ）是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）存在，此時為的中點.

【解析】

（Ⅰ）證明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.

（Ⅱ）假設存在點滿足題意，過作于，平面，過作于，連接，則，過作于，連接，是二面角的平面角，設，，計算得到答案.

（Ⅰ）∵，，，∴平面.

又平面，∴平面平面，

而平面，，∴平面平面，

由，知，可知平面，

又平面，∴平面平面.

（Ⅱ）假設存在點滿足題意，過作于，由知，

易證平面，所以平面，

過作于，連接，則（三垂線定理），

即是二面角的平面角，

不妨設，則，

在中，設（），由得，

即，得，∴，

依題意知，即，解得，

此時為的中點.

綜上知，存在點，使得二面角的余弦值，此時為的中點.