Question

【題目】已知函數

(I)求函數在點(1，0)處的切線方程；

(II)設實數k使得f(x)< kx恒成立，求k的范圍；

(III)設函數，求函數h(x)在區間上的零點個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析。

【解析】分析：（I）根據導數的幾何意義求解即可．（II）分離參數，轉化為恒成立求解．令，可求得函數的最大值為，進而可得結論．（III）由分離參數可得，借助（II）中的結論并結合函數的圖象根據數形結合的方法可得函數零點的個數．

詳解：（I）∵，

∴，

∴，

∴所求切線方程為，

即．

（II）由題意得恒成立等價于對恒成立．

令，則，

當時，單調遞增；當時，單調遞減，

∴當時，有最大值，且最大值為，

∴．

∴實數k的范圍是．

（III）由，即，

得，

∴函數h(x)在區間上的零點個數即為函數的圖象與函數的圖象在上的公共點的個數．

由（II）得函數在上單調遞增，在上單調遞減，且的最大值為，

又，．

∴當或者時，函數有0個零點；

當或者時，函數有1個零點；

當時，函數有2個零點．