Question

如圖，在矩形中，分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設,．

（Ⅰ）求直線與的交點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過圓上一點作圓的切線與軌跡交于兩點，若，試求出的值．

Answer 1

（1）
（2）

試題分析：解：（I）設，由已知得，
則直線的方程為，直線的方程為，  4分
消去即得的軌跡的方程為． 6分
（II）方法一：由已知得，又，則， 8分
設直線代入得，
設，
則．…10分
由得，
即，
則，  12分
又到直線的距離為，故．
經檢驗當直線的斜率不存在時也滿足．  14分
方法二：設，則，且可得直線的方程為…10分
代入得，
由得，即，…12分
則，故． 14分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，運用代數的方法來解決幾何問題，屬于中檔題。