Question

【題目】如圖所示,在四面體ABCD中,AB,BC,CD兩兩互相垂直,且BC=CD=1.

(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;

(2)求二面角C-AB-D的大小;

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）CD⊥AB,CD⊥BC,可得CD⊥平面ABC，從而有平面ACD⊥平面ABC。

（2）建立空間坐標系，求出平面ABC的法向量=(1,0,0)和平面ABD的一個法向量為(-1,1,0)，代入計算公式即可。

(1)證明因為CD⊥AB,CD⊥BC,

所以CD⊥平面ABC.

又因為CD平面ACD,

故平面ACD⊥平面ABC.

(2)解設AB=a,建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz,

則B(0,0,0),A(0,0,a),C(0,1,0),D(1,1,0),于是=(1,1,0),=(0,0,a).

顯然平面ABC的法向量=(1,0,0).

設平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z),

則有·n=x+y=0,·n=az=0,

所以z=0,取y=1,則x=-1,則n=(-1,1,0).

因此cos<,n>==-,

由圖可知二面角C-AB-D為銳角,所以二面角C-AB-D的大小為45°.