Question

已知雙曲線C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為2．若拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則拋物線C₂的方程為

x²=16y

．

Answer 1

分析：由題意可得雙曲線的漸近線方程和離心率，可得b=

3

a，c=2a，由點到直線的距離公式可得p=

4c

a

，代入化簡可得p值，進而可得方程．

解答：解：由題意可得雙曲線C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)漸近線為y=±

b

a

x，
化為一般式可得bx±ay=0，離心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=2，
解得b=

3

a，∴c=

a2+b2

=2a，
又拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點為（0，

p

2

），
故焦點到bx±ay=0的距離d=

ap

2 a2+b2

=

ap

2c

=2，
∴p=

4c

a

=

4×2a

a

=8，
∴拋物線C₂的方程為：x²=16y
故答案為：x²=16y

點評：本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質，涉及離心率的應用和點到直線的距離公式，屬中檔題．