Question

若函數f（x）滿足：對于任意x₁，x₂＞0，都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，則稱函數f（x）具有性質M．給出下列四個函數：①y=x³，②y=log₂（x+1），③y=2^x-1，④y=sinx．其中具有性質M的函數是

 

（注：把滿足題意所有函數的序號都填上）

Answer 1

分析：根據題意依次分析命題：①②③通過做差比較f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）大于還是小于零，得出結論；④當x＞0時，根據函數y=sinx的值域是[-1，1]，得出結論即可．

解答：解：①函數y=x³，當x＞0時，y＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=x₁³+x₂³-（x₁+x₂）³=-3x₁²x₂-3x₂²x_1^＜0
∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂） 故①具有性質M的函數；
②當x₁，x₂＞0時，y=log₂（x+1）＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=log2

(x1+1)(x2+1)

x1+x2+1

∵x₁，x₂＞0
∴f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=log2

(x1+1)(x2+1)

x1+x2+1

＞0
即f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）
故②不具有性質M的函數；
③當x＞0時，y=2^x-1的值域（0，+∞）
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＞0 故③具有性質M的函數；
④當x＞0時，函數y=sinx的值域是[-1，1]，故不具有M的性質．
可通過作差比較得到結論．
故答案為①③．

點評：本題考查了對數函數、正弦函數、指數函數的單調性以及值域，對于比較兩數大小一般采取做差比較的方法．屬于基礎題．