Question

已知以原點O為中心，F（，0）為右焦點的雙曲線C的離心率，
(Ⅰ)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
(Ⅱ)如圖，已知過點M(x₁，y₁)的直線l₁：x₁x+4y₁y=4與過點N(x₂，y₂)(其中x₂≠x₁)的直線l₂：x₂x+4y₂y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與雙曲線的兩條漸近線分別交于G、H兩點，求的值。

Answer 1

解：(Ⅰ)設C的標準方程為， 則由題意， 又， 因此， C的標準方程為， C的漸近線方程為，即x-2y=0和x+2y=0。
(Ⅱ)如圖，由題意點E(xE，yE)在直線l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上， 因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4， 故點M、N均在直線xEx+4yEy=4上， 因此直線MN的方程為xEx+4yEy=4， 設G、H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點， 由方程組及， 解得， 故， 因為點E在雙曲線上， 有， 所以。