Question

給出定義：若函數f（x）在D上可導，即f′（x）存在，且導函數f′（x）在D上也可導，則稱f（x）在D上存在二階導函數，記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數．以下四個函數：
①f（x）=x²+2x；
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）=lnx-x；
④f（x）=-xe^x
在（0，

π

2

）上是凸函數的是

 

．（填序號）

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：對①②③④分別求二次導數，逐一排除可得答案．

解答： 解：對于f（x）=x²+2x，f′（x）=2x+2，f″（x）=2，當x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＞0，故不為凸函數，
對于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，當x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0，故為凸函數，
對于f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，f″（x）=-

1

x2

，當x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0，故為凸函數，
對于f（x）=-xe^x，f′（x）=-e^x-xe^x，f″（x）=）=-e^x-e^x-xe^x，當x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0，故為凸函數，
故答案為：②③④

點評：本題主要考查函數的求導公式．屬基礎題．